Billard et Probabilités
Notations
On notera pi la probabilité de marquer le iem point.
(on a marqué 1,2,3,4,...i-1 points et on essaie le point suivant).
On notera X le score réalisé sur une reprise.
On notera P(X=n) la probabilité de marquer exactement n points sur une reprise.
On notera p**n = p*p*p* ... *p (n fois)
Hypothèse la plus simpliste
- La probabilité de marquer un point reste constante entre 2 coups. (la probabilité de marquer le 10em point (sachant qu’on en a déjà marque 9) est identique à la proba de marquer le premier point. Soit : pi=p p étant un paramètre constant.
- On peut faire des modèles qui tiennent compte du fait qu’il est plus probable de marquer le 16em point que de marquer le premier, (si on en a deja marqué 15, on doit (devrait) avoir les billes de prés). Ce modèle est plus complexe et il me faudrait des statistiques pour calculer précisément la loi de probabilité.
Calculons la moyenne m réalisée par un joueur qui marque chaque point avec une probabilité constante p.
On appelle espérance mathématique cette moyenne m. Elle traduit
évidemment le nombre de points marqués en moyenne à chaque reprise.
m = P(X=1) *1 + P(X=2)*2 + P(X=3)*3 + .... (1)
Calculons la probabilité de marquer exactement n points sur une reprise : soit P(X=n)
Analogie avec un lance de dés . On lance un des a 6 faces. On applique la
règle suivante :
Si on obtient 1, on gagne 1 franc et on rejoue. Si
on obtient 2,3,4,5 ou 6, on s’arrête de jouer.
La probabilité de
gagner exactement 1 franc est : P(X=1) = (1/6) * (5/6). On a une
probabilité 1/6 de marquer 1 au premier tirage et une probabilité 5/6 d’échouer
au second lancé.
La probabilité de gagner 5 francs est P(X=5) =
(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) * (5/6). Premier tirage 1/6 , second 1/6 ...
cinquième 1/6 et échec au dernier tirage 5/6.
On a : P(X=n) = (p**n ) * (1-p) (2)
Les relations (1) et (2) donnent :
m = (1-p) { 1*p + 2*p*p + 3*p*p*p + ..... + n*(p**n) + ..... } (3)
Calculons S= 1*p + 2*p*p + 3*p*p*p + ..... + n*(p**n) + .....
on a : S = p + 2 p**2 + 3 p**3 + ....
et pS = p**2 + 2 p**3 + ....
en formant S-pS on obtient : S(1-p) = p + p**2 + p**3 + ....
en multipliant la relation précédente par p on a : S(1-p) p = p**2 + p**3 + ....
donc S(1-p) (1-p) = p soit S = p/((1-p)**2)
ce qui donne : m = (1-p) S donc m =
p/(1-p)
(4)
Relation entre la moyenne et la probabilité supposée constante de marquer un point :
(4) donne : m = p / (1-p)
donc p = m / (m+1) (5)
Voici un petit tableau qui donne : pour chaque moyenne, le nombre de reprises à 1 point, à 2 points ...
Explications:- la ligne proba de marquer (%) indique la probabilité au cours d’un match de marquer des reprises à n points.
- La ligne % de pts marqués indique le nombre total de points qui seront marqués dans des reprises a n points.
- le joueur a une chance sur 100 de marquer une reprise à 4 points (case en gras)
- le joueur marquera en moyenne 0,2% de ses points dans des reprises à 8 points.
- le joueur marquera 14,8% de ses points dans des reprises à 3 points.
- 11,1 % de ses points seront des points isolés, 14,8% des ses points seront marqués en séries de 2 ...
Pour chaque moyenne, le nombre de reprises à 1 point, à 2 points ...
| nb de points moyenne 0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
22 |
7 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
44,4 |
29,6 |
14,8 |
6,6 |
2,7 |
1,1 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
| nb de points moyenne 1,00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
13 |
6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
25,0 |
25,0 |
18,8 |
12,5 |
7,8 |
4,7 |
2,7 |
1,6 |
0,9 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
| nb de points
moyenne=1,50 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
24 |
14 |
9 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
16,0 |
19,2 |
17,3 |
13,8 |
10,4 |
7,5 |
5,2 |
3,6 |
2,4 |
1,6 |
1,1 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
| nb de points
moyenne=2.00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
22 |
15 |
10 |
7 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
11,1 |
14,8 |
14,8 |
13,2 |
11,0 |
8,8 |
6,8 |
5,2 |
3,9 |
2,9 |
2,1 |
1,5 |
1,1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
| nb de points
moyenne=3.00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
19 |
14 |
11 |
8 |
6 |
4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
6,3 |
9,4 |
10,5 |
10,5 |
9,9 |
8,9 |
7,8 |
6,7 |
5,6 |
4,7 |
3,9 |
3,2 |
2,6 |
2,1 |
1,7 |
1,3 |
1,1 |
0,8 |
0,7 |
0,5 |
| nb de points
moyenne=4.00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
16 |
13 |
10 |
8 |
7 |
5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
4,0 |
6,4 |
7,7 |
8,2 |
8,2 |
7,9 |
7,3 |
6,7 |
6,0 |
5,4 |
4,7 |
4,1 |
3,6 |
3,1 |
2,6 |
2,3 |
1,9 |
1,6 |
1,4 |
1,2 |
| nb de points
moyenne=5.00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
14 |
12 |
10 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
| % de pts marques |
2,8 |
4,6 |
5,8 |
6,4 |
6,7 |
6,7 |
6,5 |
6,2 |
5,8 |
5,4 |
4,9 |
4,5 |
4,1 |
3,6 |
3,2 |
2,9 |
2,6 |
2,3 |
2,0 |
1,7 |
| nb de points
moyenne=7.50 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
6 |
5 |
4 |
4 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| % de pts marques |
1,4 |
2,4 |
3,2 |
3,8 |
4,2 |
4,4 |
4,6 |
4,6 |
4,6 |
4,5 |
4,4 |
4,2 |
4,0 |
3,8 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
3,0 |
2,8 |
2,6 |
| nb de points
moyenne=10.00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
8 |
8 |
7 |
6 |
6 |
5 |
5 |
4 |
4 |
4 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
| % de pts marques |
0,8 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,1 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
3,5 |
3,5 |
3,5 |
3,4 |
3,4 |
3,3 |
3,2 |
3,1 |
2,9 |
2,8 |
2,7 |
| nb de points
moyenne=20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| Proba de marquer (%) |
5 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
| % de pts marques |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,5 |
1,6 |
1,6 |
1,7 |
1,7 |
1,7 |
1,8 |
1,8 |
1,8 |
1,8 |
Bien entendu, ces tableaux ne donnent que les probabilités de marquer des reprises de 1 à 20 points. C’est suffisant pour les moyennes de l’ordre de 1 à 4 ou 5. Pour des moyennes supérieures, il faudrait considérer des reprises à 30,40 points et plus.
Par exemple, pour un joueur à 2 de moyenne, on constate que la probabilité de marquer sur une reprise un point et un seul est p=22%. La probabilité de marquer 4 points consécutifs ne vaut plus que 0,07 (7%).
Cependant, le pourcentage sur un grand nombre de reprises, de points marqués sur des reprises à 2 points sera 14,8% et de points marques sur des reprises à 10 points de 2,9.
C’est encore plus net pour un joueur plus fort. Par exemple un joueur à 5 de moyenne marque avec ce modèle 2,8% de ses points sur des coups isolés, et 5,4% de ses points sur des séries de 10.
Un joueur fort marque peu (en pourcentages) de points sur des séries très courtes. On s’en doutait un peu.
Une autre lecture du tableau revient à dire qu’un joueur qui parvient une fois sur 100 à faire une série de plus de 10 devrait avoir une moyenne de l’ordre de 1,5 a 2. En effet sur 100 points marques, un joueur a 1,5 de moyenne marque 99,4% de ses points sur des séries de moins de 10. (un joueur à 2 de moyenne marque AVEC CE MODELE, 99% de ses points sur des séries de moins de 16).
On peut calculer la valeur N de la série telle que un joueur marque 50% de
ses points en faisant des séries inférieures a N. Les valeurs approximatives
sont :
| Moyenne | Série Médiane |
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| 5 | 9 |
| 6 | 11 |
| 7 | 13 |
| 8 | 14 |
| 9 | 16 |
| 10 | 18 |
Voici les tableaux pour des moyennes de 0.1 a 1.2. (3 bandes ? )
Ces valeurs doivent beaucoup plus coller à la réalité des matchs en 3 bandes
ou le jeu de série est plus délicat.
| moyenne 0,10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
82,6 |
15,0 |
2,0 |
0,2 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|
moyenne 0,20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
14 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
69,4 |
23,1 |
5,8 |
1,3 |
0,3 |
0,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Proba de marquer (%) |
18 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
59,2 |
27,3 |
9,5 |
2,9 |
0,8 |
0,2 |
0,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|
moyenne 0,40 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
20 |
6 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
51,0 |
29,2 |
12,5 |
4,8 |
1,7 |
0,6 |
0,2 |
0,1 |
0,0 |
0,0 |
|
moyenne 0,50 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
22 |
7 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
44,4 |
29,6 |
14,8 |
6,6 |
2,7 |
1,1 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
0,0 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
23 |
9 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
39,1 |
29,3 |
16,5 |
8,2 |
3,9 |
1,7 |
0,8 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
24 |
10 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
34,6 |
28,5 |
17,6 |
9,7 |
5,0 |
2,5 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
11 |
5 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
30,9 |
27,4 |
18,3 |
10,8 |
6,0 |
3,2 |
1,7 |
0,8 |
0,4 |
0,2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
12 |
6 |
3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
27,7 |
26,2 |
18,6 |
11,8 |
7,0 |
4,0 |
2,2 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
13 |
6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
25,0 |
25,0 |
18,8 |
12,5 |
7,8 |
4,7 |
2,7 |
1,6 |
0,9 |
0,5 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
13 |
7 |
4 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
22,7 |
23,8 |
18,7 |
13,0 |
8,5 |
5,4 |
3,3 |
2,0 |
1,2 |
0,7 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
14 |
7 |
4 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
20,7 |
22,5 |
18,4 |
13,4 |
9,1 |
6,0 |
3,8 |
2,4 |
1,5 |
0,9 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
25 |
14 |
8 |
4 |
3 |
1 |
1 |
0 |
0nt> |
0 |
| % de pts marques |
18,9 |
21,4 |
18,1 |
13,7 |
9,6 |
6,5 |
4,3 |
2,8 |
1,8 |
1,1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
24 |
14 |
8 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
17,4 |
20,3 |
17,7 |
13,8 |
10,1 |
7,0 |
4,8 |
3,2 |
2,1 |
1,4 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Proba de marquer (%) |
24 |
14 |
9 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
| % de pts marques |
16,0 |
19,2 |
17,3 |
13,8 |
10,4 |
7,5 |
5,2 |
3,6 |
2,4 |
1,6 |
Conclusion:
La réalité est très souvent compliquée, mais si votre rôle est de prédire le taux de pannes de machines dans une usine, de donner la cote moyenne d’une pièce après usinage ou encore de fixer les barèmes d’une police d’assurance, très souvent des modèles simpliste suffisent. Ces modèles sont bases le plus souvent sur l’explication d’un jeu d’expériences passées. Cela permet de vérifier à posteriori la validité d’un modèle. Ici, je n’ai pas cherché à expliquer un jeu de données car je ne dispose que des observations sur mes propres parties. Mais en ce qui me concerne, le modèle ci-dessus est bien en accord avec mes performances.Néanmoins ce modèle est simpliste. Il ne traduit en aucun cas la réalité du jeu de série. Mais d’un autre coté, est ce qu’un joueur à 1,2 de moyenne pratique le jeu de série ?. Il serait intéressant de noter sur quelques parties les scores réalises par reprise pour le vérifier...
On peut rejeter tout en bloc, mais ce serait une erreur. Des tableaux de chiffres comme ceux imprimes ci-dessus donnent une idée. Elle est peut être un peu fausse (ou un peu vraie), mais en aucun cas complètement fausse ou totalement vraie. Si on demande au pied levé à quelqu’un qui joue à la bande à une moyenne de 1,4 s’il fait souvent des séries de 6, s’il répond une fois sur 20 (5%), il se trompe. L’expérience montrerait à coup sur que la réponse est de l’ordre de 2% (une fois sur 50). Il y a un facteur supérieur à 2 sur l’erreur. Sur 10 reprises, tous les résultats sont possibles, sur 50 l’erreur serait déjà infime. Sur 100 reprises, il y aurait un accord presque parfait avec la théorie.
On peut montrer que les valeurs données ci-dessus sont de plus en plus
pertinentes si le nombre de données augmente et même préciser l’écart théorique
par rapport au modèle selon le nombre d’expériences (de reprises). Si ces
valeurs vous intéressant ou si vous vous découvrez une passion subite pour la
théorie des probabilités, je me tiens à votre disposition.
Si vous désirez imprimer des tableaux Excel avec d’autres valeurs, les formules à utiliser sont :
Proba en % de marquer exactement N points : = (1-p) * EXP(N*LN(p)) * 100
% de points marques sur des reprises de N Points = (1-p) * EXP(N*LN(p)) * N / m
et ceci avec p = m / (m+1)
